Бифуркации

    8.3. Нелинейные уравнения  с параметром.

    Бифуркации

    Материал  §8.1 можно интерпретировать так: нелинейная непрерывная математическая модель (8.3) некоего явления изучается путем построения и исследования соответствующей дискретной модели (8.1). Связь между этими моделями на отрезке устанавливается при выполнении двух следующих условий:

      (отображение  в себя)

и (1.1)

       (сжатие).

А именно, согласно теореме 8.1, эти условия являются достаточными для существования и единственности на [a;b] решения ε непрерывной задачи (8.3), причем оно может быть получено как предел последовательности (х_к) (т.е. как решение дискретной задачи (8.1)), начинающейся с любой точки . Последнее можно расценить как устойчивость в данном смысле решения ε дискретной модели (8.1).

    Продолжим изучение взаимосвязи непрерывной  и дискретной одномерных нелинейных моделей в следующем русле.

    Во-первых, возьмем за основу и будем рассматривать некоторую конкретную дискретную модель, а для ее исследования привлечем соответствующую непрерывную модель.

    Во-вторых, попытаемся выяснить, к чему может  привести нарушение условий сходимости метода простых итераций, т.е. условий (1.1), применительно к данной модели и какие «тайны» могут скрываться за термином нелинейность.

    Преследуя эти цели, введем в дискретное (8.1) и непрерывное (8.3) уравнения вещественный параметр λ , т.е. будем изучать связь между моделями вида

            (1.2)

и

, (1.3)

    Заметим, что не так редки ситуации, когда  в приложениях математики первичными являются именно дискретные модели, а  их непрерывные аналоги нужны  для того, чтобы воспользоваться  хорошо развитой теорией математического  анализа и плодами вычислительной математики, которая в основном построена по принципу «непрерывная задача -> дискретная аппроксимация».

    Представим  себе следующую весьма идеализированную картину. Пусть на некоторой ограниченной территории, например на острове, может  прокормиться не более N животных определенного вида и пусть в начальный момент наблюдений за ними их количество было g₀ (0, N). Будем считать, что животные ежегодно приносят потомство, и скорость размножения характеризуется некоторым параметром а>0. Тогда если через g_k обозначить численность животных в к-й год после начала наблюдения, то можно предположить, что закон ежегодного изменения численности популяции грубо описывается моделью

      (1.4)

    В пользу принятия такой модели говорят следующие рассуждения. Если значение g₀ начальной численности мало, то второй сомножитель в начале, процесса почти постоянен и все зависит от коэффициента роста а: при малых а, т.е. при низкой скорости размножения, численность животных будет снижаться и в конце концов популяция гибнет. Если же возрастает и приближается к максимально возможному значению N, то за счет близости к нулю второго сомножителя численность популяции естественно начнет снижаться.

    Чтобы облегчить исследование модели (1.4), упростим ее заменой переменных. Переписав (1.4) в виде  

и положив  

приходим  к уравнению

            (1.5)

где к = 0,1,2,..., а значения х_к в соответствии со смыслом задачи должны принадлежать отрезку [0,1].

    На  равенство (1.5) можно смотреть как на МПИ (1.2), применяемый к задаче о неподвижной точке вbда (1.3), т.е. к задаче о корнях уравнения

      (1.6)

в области [0,1].

   Условившись не использовать далее в обозначениях функции ее явную зависимость  от параметра , положим 

и преобразуем  эту квадратичную функцию к виду 
 

Из последнего следует, что при и что отображает отрезок [0,1] в Значит, при λ функция осуществляет на отрезке [0,1] отображение в себя, т.е. при этих значениях λ элементы последовательности (), получаемой с помощью равенства (1.5), при любом не выйдут за пределы отрезка [0,1], другими словами, определены при любом k=0, 1, 2, …

   Для производной данной функции имеем:

    и

Следовательно, при λ< 1 отображение является сжимающим на [0,1] и имеет единственную неподвижную точку ε[0,1], а именно ε= 0, которая является пределом последовательности () при любом начальном значении х₀ [0,1] (популяция гибнет по причине недостаточной скорости воспроизводства). Геометрическая иллюстрация этого случая, соответствующего выполнению условий теоремы 8.1, показана на рисунке 1.

 

    При нарушается одно из условий сходимости метода простых итераций: не является функцией сжатия. Что же это влечет? 

    Очевидно, уравнение (1.6) по-прежнему сохраняет решение =0[0,1]. Но при переходе λ через 1 это решение теряет устойчивость и появляется второе решение 

которое следует считать устойчивым, поскольку  теперь именно к нему будет сходиться любая последовательность, определяемая начатым с [0,1] методом простых итераций (1.5) (рис. 2). Произошло явление, которое носит название бифуркация решений: вместо одного решения на рассматриваемом промежутке стало два решения.

     Сходимость (х_к) к будет наблюдаться не при всех [1,4]. Оказывается, существует число >1, такое, при переходе λ через которое начнет происходить зацикливание последовательности (x_k ). А именно, какое бы ни взяли х₀ (0,1), начатая с него и продолжаемая по формуле (1.5) последовательность будет обладать тем свойством, что все ее четные члены будут иметь пределом одно число, а нечетные — другое. Это означает, что найдутся числа (0,1) (при каждом λ свои), такие, что причем (рис. 3). В этом случае говорят, что дискретное отображение (1.5) имеет устойчивый цикл периода 2, и обозначают его S . Относя это к исходной модельной задаче с животными, можно сказать, что при значениях численность популяции будет меняться периодически с периодом в два «года».

       
 

    Зная  ситуацию качественно, нетрудно найти  точно пороговое значение , при котором появляется устойчивый цикл .

    Действительно, если известно, что на (0,1) имеются  точки  такие, что , то, значит,   т.е. — неподвижные точки отображения иначе — корни уравнения

      

Так как эта  суперпозиция сохраняет старые неподвижные точки и то уравнение 

должно  иметь четыре корня, из которых два  известны (рис. 4). Исключив из этого уравнения известные корни, приходим к квадратному уравнению  

Положительное значение λ, которое служит границей области положительности дискриминанта уравнения, как раз и есть искомое значение , начиная с которого появляются новые устойчивые неподвижные точки , т.е. цикл S². Очевидно, это ⋀₁=3. Устойчивость неподвижных для точек в том смысле что они становятся точками четно-нечетного притяжения для последовательности (х_к), устанавливается непосредственной проверкой условия 

    Дальнейшее  увеличение λ в дискретном уравнении (1.5) ведет к тому, что, начиная с некоторого ⋀₂, зацикливание будет иметь более сложный характер: при каждом где ⋀₂ >3, ⋀з <4, найдутся числа ,, (зависящие от λ), такие, что ,, и члены последовательности (х_к) будут поочередно все сильнее притягиваться к этим числам, с какого бы х₀ (0,1) ни начинался процесс (1.5). Говорят, что в этом случае имеет место устойчивый цикл периода 4, или цикл S⁴.

    Такой процесс образования новых циклов происходит с увеличением параметра  λ и далее. Точки ⋀_1; ⋀₂, ⋀₃, в которых происходит зарождение циклов S², S⁴, S⁸, ..., называются точками бифуркации удвоения периода.

    Этому процессу бифуркаций удвоения периода  можно придать наглядный вид, если отобразить на графике зависимость элементов цикла — значений устойчивых неподвижных точек отображений (иначе, точек притяжения подпоследовательностей получаемой посредством метода простых операций (1.5) последовательности (х_k)) — от значений параметра λ при λ > 1 (рис. 5).

    Последовательность (⋀_n) точек бифуркации удвоения периода обладает определенной закономерностью:  

    Имеет постоянный предел, равный величине = 2.50290..., также отношение d_n/d_n-1, где через d_n обозначено расстояние от точки х=0.5 до ближайшего элемента цикла S , соответствующею такому значению λ, при котором х=0.5 является элементом тот же цикла (см. рис. 5). Числа и называют постоянными Фейгенбаума в честь открывшего эти закономерности американского математика (1978).

      

    Верхней границей значений λ, при которых получаемая c помощью (1.5) последовательность (х_k) ведет себя указанным образом, т.е. имеет циклы , является значение 3.57. Дальнейшее увеличение λ приводит к срыву цикличности. В каком-то диапазоне значений λ > будет наблюдаться бесконечное хаотическое блуждание точек последовательности (х_к) в пределах промежутка (0,1), с какого бы х₀ (0,1) она ни начиналась. Затем снова из хаоса возникают устойчивые циклы, происходят бифуркации удвоения периода и опять срыв в хаос. Такие чередования циклического (с разными периодами, например и др.) и хаотического поведения последовательности (x_k) имеют место в процессе увеличения λ почти вплоть до предельного значения λ = 4. При этом самый большой (по λ) промежуток цикличности после циклов вида будет иметь цикл периода 3 (при λ3.829), играющий особую роль в теории бифуркаций.

    Как зарождается порядок в хаосе, каковы связи между циклами разных периодов, какую роль играет последовательность обхода элементов цикла, что можно  сказать об устойчивости тех или  иных циклов — эти и другие вопросы  возникают перед математиками, изучающими нелинейные отображения. Непростые  ответы на них, достаточно наглядные  в одномерном случае, позволяют понять природу многих сложных явлений (например, оценить принципиальные возможности долгосрочного прогнозирования  погоды).